Math Functions Important types of functions and their properties Quadratic functions - parabolas Zeros of a quadratic function Exercises: Zero form

Exercises: Zero form

Gesucht ist eine quadratische Funktion $f$ . Die Funktion soll eine Nullstelle bei $5$ haben, deren Vielfachheit aber unbekannt ist. Welche der folgenden Funktionen kommt in Frage?

$f (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$
$f (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$
$f (x) = 7 \cdot (x - 5) \cdot (x - 8) \cdot (x - 8)$
$f (x) = 27 \cdot (x + 18) \cdot (x - 9)$
$f (x) = 34 \cdot (x + 5) \cdot (x + 66)$

For this task you need the following basic knowledge: Nullstellenform

Die wichtigen Informationen aus der Angabe sind:

$f$ ist eine quadratische Funktion, hat also Grad $2$
$f$ hat mindestens eine Nullstelle
$5$ ist eine Nullstelle, also $f (5) = 0$

Jetzt kann systematisch vorgegangen werden:

Überprüfung der Grade

Die Funktion $f_{1} (x) = 7 \cdot (x - 5) \cdot (x - 8) \cdot (x - 8)$ hat Grad $3$ , kommt also nicht in Frage.Die restlichen Funktionen haben Grad $2$ , weil beim Ausmultiplizieren die höchste vorkommende Potenz $2$ ist.

Überprüfung der Nullstelle

Wie du erkennen kannst, sind alle Antwortmöglichkeiten in der Nullstellenform. Also kannst du die Nullstellen der Funktionen aus ihren Termen ablesen.

Funktion: $f_{2} (x) = 27 \cdot (x + 18) \cdot (x - 9)$

Die Nullstellen dieser Funktion sind $- 18$ und $9$ . Da $5$ keine Nullstelle ist, erfüllt $f_{1}$ die Voraussetzungen nicht.

Funktion: $f_{3} (x) = 34 \cdot (x + 5) \cdot (x + 66)$

Die Nullstellen dieser Funktion sind $- 5$ und $- 66$ . Hier ist es wichtig auf die Vorzeichen in Klammern zu achten.

Diese Funktion erfüllt also die Voraussetzungen auch nicht.

Funktion: $f_{4} (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$

Hier gibt es die doppelte Nullstelle bei $5$ , also ist $f_{4}$ eine Lösung.

Funktion: $f_{5} (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$

Diese Funktion hat ihre Nullstellen bei $3$ und $5$ und daher ist auch $f_{5}$ eine Lösung.

Zusammenfassung

Die beiden richtigen Antworten sind $f_{4} (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$ und $f_{5} (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$ .

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Exercises: Zero form

Überprüfung der Grade

Überprüfung der Nullstelle

Funktion: f2(x)=27⋅(x+18)⋅(x−9)

Funktion: f3(x)=34⋅(x+5)⋅(x+66)

Funktion: f4(x)=42⋅(x−5)2

Funktion: f5(x)=3⋅(x−3)⋅(x−5)

Zusammenfassung

Funktion: $f_{2} (x) = 27 \cdot (x + 18) \cdot (x - 9)$

Funktion: $f_{3} (x) = 34 \cdot (x + 5) \cdot (x + 66)$

Funktion: $f_{4} (x) = 42 \cdot (x - 5)^{2}$

Funktion: $f_{5} (x) = 3 \cdot (x - 3) \cdot (x - 5)$